กรุป (
อังกฤษ: group) ใน
พีชคณิตนามธรรม คือ
เซตกับ
การดำเนินการทวิภาค เช่น การคูณหรือการบวก ซึ่งสอดคล้องกับ
สัจพจน์ชุดหนึ่งซึ่งเรียกว่าสัจพจน์ของกรุป ตัวอย่างของกรุปที่ง่ายที่สุดคือ เซตของ
จำนวนเต็มภายใต้การบวกปรกติ ซึ่งเป็นกรุปแบบหนึ่ง สาขาของคณิตที่ศึกษาเกี่ยวกับกรุปโดยเฉพาะเรียกว่า
ทฤษฎีกรุป แต่กรุปยังปรากฏในสาขาอื่น ๆ ทั้งในคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ และศาสตร์อื่น ๆ นอกเหนือจากคณิตศาสตร์
[1]กรุปเป็นเครื่องมือที่สำคัญในการศึกษา
สมมาตรของวัตถุในรูปแบบต่าง ๆ หลักการที่ว่า "สมมาตรของวัตถุใด ๆ ก่อให้เกิดกรุป" เป็นหลักพื้นฐานของคณิตศาสตร์มากมาย ตัวอย่างโดยตรงคือ
กรุปสมมาตรของวัตถุ ซึ่งเป็นเครื่องมือหนึ่งในการอธิบายสมมาตรของวัตถุเชิงเรขาคณิต กรุปสมมาตรมีสมาชิกประกอบไปด้วยการแปลง (การหมุน การพลิกรูป การสะท้อน ฯลฯ) ที่คงรูปทรงของวัตถุนั้น
ลีกรุปเป็นกรุปสมมาตรชนิดหนึ่งที่ปรากฏใน
แบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์อนุภาค
กรุปปวงกาเรเป็นลีกรุปที่มีสมาชิกเป็นสมมาตรของ
กาลอวกาศใน
สัมพัทธภาพพิเศษ ในขณะที่
กรุปจุดสามารถอธิบายสมมาตรของ
โมเลกุลเคมีได้กรุปมีจุดกำเนิดเริ่มแรกจากการศึกษาสมการเชิง
พหุนาม ในช่วงคริสต์ทศวรรษที่ 1830
เอวาริสต์ กาลัวเป็นคนแรกที่ใช้คำว่า กรุป (Groupe ในภาษาฝรั่งเศส) เรียกกรุปสมมาตรของ
รากของพหุนาม ซึ่งปัจจุบันเราเรียกกรุปเหล่านั้นว่า
กรุปกาลัว ตั้งแต่นั้นมามีการศึกษากรุปจากสาขาอื่น ๆ ในคณิตศาสตร์ เช่น
ทฤษฎีจำนวน และ
เรขาคณิต ก่อนที่แนวความคิดเกี่ยวกับกรุปทั่ว ๆ ไปจะได้รับการนิยามในช่วงปีคริสต์ศักราชที่ 1870 ในช่วงเวลาเดียวกันกับที่คณิตศาสตร์พัฒนาไปในทิศทางที่เป็นนามธรรมขึ้นเรื่อย ๆ ทฤษฎีกรุปจึงเป็นสาขาสำคัญของ
พีชคณิตนามธรรมในปัจจุบัน
ทฤษฎีกรุปสมัยใหม่ศึกษากรุปในตัวมันเอง ซึ่งนำไปสู่แนวคิดมากมาย เช่น
สับกรุป กรุปผลหาร และ
กรุปเชิงเดี่ยว นอกจากนี้นักคณิตศาสตร์ยังศึกษากรุปในมุมมองที่เป็นรูปธรรมมากขึ้น และสามารถระบุได้อย่างเจาะจง การศึกษานี้นำไปสู่
ทฤษฎีตัวแทนและ
ทฤษฎีกรุปเชิงการคำนวณ